Question

如圖，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=9，OC=15，將矩形紙片OABC繞O點順時針旋轉90°得到矩形OA₁B₁C₁．將矩形OA₁B₁C₁折疊，使得點B₁落在x軸上，并與x軸上的點B₂重合，折痕為A₁D．
（1）求點B₂的坐標；
（2）求折痕A₁D所在直線的解析式；
（3）在x軸上是否存在點P，使得∠BPB₁為直角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據Rt△A₁OB₂中，OB2=

A1 B 2 2 -O A 2 1

=12，可得點B₂坐標為（12，0）；
（2）B₂C₂=15-12=3，DC₁=m，則B₁D=9-m，因為B₁D=B₂D，所以

m2+9

=9-m，解得m=4，即D點的坐標為（15，4），設折痕A₁D所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法可解得，折痕A₁D所在直線的解析式為y=-

1

3

x+9；
（3）假設存在P點，可證明△BAP∽△PC₁B₁，得

AB

C1P

=

AP

C1B1

，設PC₁的長為m，所以

15

m

=

24-m

9

，解得m₁=15或m₂=9，故當PC₁=15時，P點坐標為（0，0）；當PC₁=9時，P點坐標為（6，0）．

解答：解：（1）由條件知，B₂A₁=B₁A₁=BA=15，A₁O=B₁C₁=BC=9，
∴在Rt△A₁OB₂中，OB2=

A1 B 2 2 -O A 2 1

=12
∴點B₂坐標為（12，0）；

（2）B₂C₂=15-12=3，DC₁=m，則B₁D=9-m，
∵B₁D=B₂D，
∴

m2+9

=9-m，
解得m=4，
∴D點的坐標為（15，4），
又A₁（0，9），
設折痕A₁D所在直線的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

9=b 4=15k+b

，
解得

k=- 1 3 b=9

，
即折痕A₁D所在直線的解析式為y=-

1

3

x+9．

（3）假設存在P點，
∵∠BPA+∠BPB₁+∠B₁PC₁=180°，∠BPB₁=90°，
∴∠BPA+∠B₁PC₁=90°，
∵∠BAP=90°，∠ABP+∠BPA=90°，
∴∠ABP=∠B₁PC₁．
在△BAP和△PC₁B₁中，

∠ABP=∠B1PC1 ∠BAP=∠PC1B1=90°

，
∴△BAP∽△PC₁B₁．
∴

AB

C1P

=

AP

C1B1

，
∵AB=15，C₁B₁=9，AC₁=24，設PC₁的長為m，
∴

15

m

=

24-m

9

，
解得m₁=15或m₂=9．
經檢驗m₁=15或m₂=9是方程的兩根，
當PC₁=15時，P點坐標為（0，0）；
當PC₁=9時，P點坐標為（6，0）．
綜上所述，P點坐標為（0，0），（6，0）．

點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和相似三角形的性質來表示相應的線段之間的關系，再結合具體圖形的性質求解．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．