Question

如圖，已知：⊙O是ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，連接DF，作EP⊥DF，垂足為點P，連接PB，PC．求證：∠DPB=∠FPC．

Answer 1

證明：分別過B、C作DF的垂線交DF延長線于G、H兩點，
∵⊙O是ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，
∴BE=BD，CF=CE，AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠BDG=∠CFH，
又∵∠G=∠H=90°，
∴△BDG∽△CFH，
∴

BG

CH

=

BD

CF

，
∴

BG

CH

=

BE

CE

，
∵∠G=∠EPG=∠H=90°，
∴BG∥EP∥CH，
∴

BE

CE

=

PG

PH

，
∴

BG

CH

=

PG

PH

，
又∵∠G=∠H=90°，
∴△BGP∽△CHP，
∴∠DPB=∠FPC．