Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x+1）2+4與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）寫出拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)　 　；

（2）點(diǎn)D1是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，判斷點(diǎn)D1是否在直線AC上，并說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)E是拋物線上的點(diǎn)，且在直線AC的上方，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸交線段AC于點(diǎn)F，求線段EF的最大值．

Answer 1

【答案】(1) （﹣1，4）；(2)見解析;(3) 2.25.

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的解析式直接寫出即可；

（2）先根據(jù)二次函數(shù)求出A、C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法確定直線AC的關(guān)系式，再求出

點(diǎn)D1，把它代入直線判斷是否再直線上；

（3）設(shè)點(diǎn)E（x，﹣x2﹣2x+3），F（x，x+3），則EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1.5）2+2.25， 則可知x=-1.5時(shí)，EF的最大值2.25.

解：（1）∵y＝﹣（x+1）2+4，

∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣1，4）．

故答案為（﹣1，4）；

（2）點(diǎn)D1在直線AC上，理由如下：

∵拋物線y＝﹣（x+1）2+4與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，

∴當(dāng)y＝0時(shí)，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝1或﹣3，A（﹣3，0），B（1，0），

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1+4＝3，C（0，3）．

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，

由題意得，解得，

∴直線AC的解析式為y＝x+3．

∵點(diǎn)D1是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，D（﹣1，4）．

∴D1（1，4），

∵x＝1時(shí)，y＝1+3＝4，

∴點(diǎn)D1在直線AC上；

（3）設(shè)點(diǎn)E（x，﹣x2﹣2x+3），則F（x，x+3），

∵EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1.5）2+2.25，

∴線段EF的最大值是2.25．