Question

【題目】如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB垂直于CD，垂足為H，∠EAD＝∠HAD．

（1）求證：AE為⊙O的切線；

（2）延長AE與CD的延長線交于點P，過D 作DE⊥AP，垂足為E，已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半徑和DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1.5，DE＝

【解析】

（1）連接OA，根據垂線的定義結合角的計算，即可得出∠EAD+∠OAD＝90°，從而得出OA⊥AE，再由點A在圓上，即可證出AE為⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，利用勾股定理可求出x的值，再由DE⊥AP，得出OA∥DE，進而可得出△PED∽△PAO，根據相似三角形的性質即可求出DE的長度．

（1）證明：連結OA，如圖所示．

∵AB⊥CD，

∴∠AHD＝90°，

∴∠HAD+∠ODA＝90°．

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA．

又∵∠EAD＝∠HAD，

∴∠EAD+∠OAD＝90°，

∴OA⊥AE．

又∵點A在圓上，

∵AE為⊙O的切線．

（2）解：設⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，

OA2+AP2＝OP2，即x2+22＝（x+1）2，

解得：x＝1.5，

∴⊙O的半徑為1.5．

∵DE⊥AP，OA⊥AP，

∴OA∥DE，

∴△PED∽△PAO，

∴，即 ，

解得：DE＝．