Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過△ABC的三個頂點，與y軸相交于(0， )，點A坐標為(－1，2)，點B是點A關于y軸的對稱點，點C在x軸的正半軸上．

（1）求該拋物線的函數解析式；

（2）點F為線段AC上一動點，過點F作FE⊥x軸，FG⊥y軸，垂足分別為點E，G，當四邊形OEFG為正方形時，求出點F的坐標；

（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當點E和點C重合時停止運動，設平移的距離為t，正方形的邊EF與AC交于點M，DG所在的直線與AC交于點N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+；（2）（1，1）；（3）當△DMN是等腰三角形時，t的值為，3﹣或1．

【解析】試題分析：（1）易得拋物線的頂點為（0，），然后只需運用待定系數法，就可求出拋物線的函數關系表達式；

（2）①當點F在第一象限時，如圖1，可求出點C的坐標，直線AC的解析式，設正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p），代入直線AC的解析式，就可求出點F的坐標；②當點F在第二象限時，同理可求出點F的坐標，此時點F不在線段AC上，故舍去；

（3）過點M作MH⊥DN于H，如圖2，由題可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三種情況（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）討論就可解決問題．

試題解析：（1）∵點B是點A關于y軸的對稱點，

∴拋物線的對稱軸為y軸，

∴拋物線的頂點為（0，），

故拋物線的解析式可設為y=ax2+．

∵A（﹣1，2）在拋物線y=ax2+上，

∴a+=2，

解得a=﹣，

∴拋物線的函數關系表達式為y=﹣x2+；

（2）①當點F在第一象限時，如圖1，

令y=0得，﹣x2+=0，

解得：x1=3，x2=﹣3，

∴點C的坐標為（3，0）．

設直線AC的解析式為y=mx+n，

則有，

解得，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+．

設正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p）．

∵點F（p，p）在直線y=﹣x+上，

∴﹣p+=p，

解得p=1，

∴點F的坐標為（1，1）．

②當點F在第二象限時，

同理可得：點F的坐標為（﹣3，3），

此時點F不在線段AC上，故舍去．

綜上所述：點F的坐標為（1，1）；

（3）過點M作MH⊥DN于H，如圖2，

則OD=t，OE=t+1．

∵點E和點C重合時停止運動，∴0≤t≤2．

當x=t時，y=﹣t+，則N（t，﹣t+），DN=﹣t+．

當x=t+1時，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，則M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1．

在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．

在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=，

∴MN2=12+（）2=．

①當DN=DM時，

（﹣t+）2=t2﹣t+2，

解得t=；

②當ND=NM時，

﹣t+=，

解得t=3﹣；

③當MN=MD時，

=t2﹣t+2，

解得t1=1，t2=3．

∵0≤t≤2，∴t=1．

綜上所述：當△DMN是等腰三角形時，t的值為，3﹣或1．