Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O直徑，過點A的切線與CB的延長線交于點E．
（1）求證：EA²=EB•EC；
（2）若EA=AC，cos∠EAB=

4

5

，AE=12，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵AE是切線，
∴∠EAB=∠C，
∵∠E是公共角，
∴△BAE∽△ACE，
∴EA：EC=EB：EA，
∴EA²=EB•EC；

（2）連接BD，過點B作BH⊥AE于點H，
∵EA=AC，
∴∠E=∠C，
∵∠EAB=∠C，
∴∠EAB=∠E，
∴AB=EB，
∴AH=EH=

1

2

AE=

1

2

×12=6，
∵cos∠EAB=

4

5

，
∴cos∠E=

4

5

，
∴在Rt△BEH中，BE=

EH

cos∠E

=

15

2

，
∴AB=

15

2

，
∵AD是直徑，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C，
∴cos∠D=

4

5

，
∴sin∠D=

3

5

，
∴AD=

AB

sin∠D

=

25

2

，
∴⊙O的半徑為

25

4

．