Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，P是AC上一動點（P不與A、C兩點重合），連接PB，以PB為直徑的圓交AB于點D，過點D作AC的垂線分別交AC于點E、交圓于點F，連接PF交AB于G．
（1）試問當點P在AC上運動時，∠BPF的大小是否發生變化，請證明你的結論；
（2）設PC=x，EF=y，求y與x的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）當點P在AC上運動時，判斷△DPG與△CBP、△EFP與△DPG是否分別一定相似？若一定相似，請加以證明；若不一定相似，請指出當x為何值時，它們就能相似？

Answer 1

分析：（1）利用已知得出∠BDF=∠CBD，進而得出∠CBD=45°，即可求出∠FPB=45°；
（2）首先證明△PDB∽△PEF，再表示出BD的長即可得出答案；
（3）首先證明∠PBC=∠DPF，進而得出△DPG∽△CBP，進而得出△EFP∽△DPG時x的值．

解答：解：（1）∠FPB的大小不變，∠FPB=45°，
∵EF⊥AC，∠C=90°，
∴EF∥CB，
∴∠BDF=∠CBD，
∵AC=BC，
∵∠FPB=∠BDF，
∴∠FPB=45°，

（2）∵PB為圓的直徑，
∴∠PDB=∠ADP=90°，
∵∠A=45°，
∴AD=PD=

2

2

AP=

2

2

(4-x)=2

2

-

2

2

x，
∵DE⊥AC，
∴

EP

PD

=

1

2

，
∵∠PDB=∠PEF，∠1=∠2，
∴△PDB∽△PEF，
∴

PE

PD

=

EF

DB

，
∴

1

2

=

y

4 2 -(2 2 - 2 2 x)

，
∴y=

1

2

x+2（0＜x＜4），

（3）△DPG與△CBP一定相似．連接BF，
∵∠FPB=45°，∠PFB=90°，
∴∠FBP=45°即∠2+∠4=45°，
∵∠2+∠5=∠ABC=45°，
∴∠4=∠5，
∵∠3=∠4，
∴∠3=∠5，
∵∠PDB=∠C=90°，
∴△DPG∽△CBP，
△EFP與△DPG不一定相似，
當∠1=∠3時，才有△EFP∽△DPG，
∵∠1=2，∠3=∠5，
∴∠2=∠5，
∴PC=PD=x，
由△APD∽△ABC，
∴

PD

BC

=

AP

AB

，
∴

x

4

=

4-x

4 2

，
∴x=4

2

-4，
∴當x=4

2

-4時，有△EFP∽△DPG．

點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定，根據已知靈活的應用相似三角形的判定是解決問題的關鍵．