Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，頂點B的坐標為（2m，m），翻折矩形OABC，使點A與點C重合，得到折痕DE，設點B的對應點為F，折痕DE所在直線與y軸相交于點G，經過點C，F，D的拋物線為．

（1）求點D的坐標（用含m的式子表示）；

（2）若點G的坐標為（0，﹣3），求該拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，設線段CD的中點為M，在線段CD上方的拋物線上是否存在點P，使PM=EA？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（，m）；（2）；（3）P（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）由折疊的性質得出CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，設CD=x，則DF=DB=2m﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出結果；

（2）由△OEG∽△CDG，即可求出m的值，從而得出C、D的坐標，作FH⊥CD于H，則△FCH∽△DCF，得出比例式求出F的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（3）由直角三角形斜邊上的中線性質得出MF=CD=EA，點P與點F重合，得出點P的坐標；由拋物線的對稱性得另一點P的坐標即可．

試題解析：（1）根據折疊的性質得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，設CD=x，則DF=DB=2m﹣x，根據勾股定理得：，即，解得：x=，∴點D的坐標為：（，m）；

（2）∵四邊形OABC是矩形，∴OA=2m，OA∥BC，∴∠CDE=∠AED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD=，∴AE=CE=，∴OE=OA﹣AE=，∵OA∥BC，∴△OEG∽△CDG，∴，即，解得：m=2，∴C（0，2），D（，2），作FH⊥CD于H，如圖1所示：則∠FHC=90°=∠DFC，∵∠FCH=∠FCD，∴△FCH∽△DCF，∴，即，∴FH=，CH=，=，∴F（，），把點C（0，2），D（，2），F（，）代入得：，解得：，，，∴拋物線的解析式為：；

（3）存在；理由如下：如圖2所示：∵CD=CE，CE=EA，∴CD=EA，∵線段CD的中點為M，∠DFC=90°，∴MF=CD=EA，點P與點F重合，∴點P的坐標為：（，）；

由拋物線的對稱性得另一點P的坐標為（，）；

∴在線段CD上方的拋物線上存在點P，使PM=EA，點P的坐標為：（，），或（，）．