Question

【題目】如圖,已知點A. B在雙曲線y= (x>0)上，AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點D，AC與BD交于點P，P是AC的中點.

(1)設A的橫坐標為m，試用m、k表示B的坐標.

(2)試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由.

(3)若△ABP的面積為3，求該雙曲線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）B(2m,)；（2）四邊形ABCD是菱形，理由見解析；（3）y= .

【解析】

（1）根據點P是AC的中點得到點A的橫坐標是m，結合反比例函數圖象上點的坐標特征來求點B的坐標；

（2）根據點P的坐標得到點P是BD的中點，所以由“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”得到四邊形ABCD是菱形；

（3）由△ABP的面積為3，知BPAP=6．根據反比例函數 y=中k的幾何意義，知本題k=OCAC，由反比例函數的性質，結合已知條件P是AC的中點，得出OC=BP，AC=2AP，進而求出k的值．

(1)∵A的橫坐標為m，AC⊥x軸于C，P是AC的中點，

∴點B的橫坐標是2m.

又∵點B在雙曲線y=(x>0)上，

∴B(2m,).

(2)連接AD、CD、BC；

∵AC⊥x軸于C，BD⊥y軸于點D，

∴AC⊥BD；

∵A(m, ),B(2m, )，

∴P(m, )，

∴PD=PB，

又AP=PC，

∴四邊形ABCD是菱形；

(3)∵△ABP的面積為BPAP=3，

∴BPAP=6，

∵P是AC的中點，

∴A點的縱坐標是B點縱坐標的2倍，

又∵點A. B都在雙曲線y= (x>0)上，

∴B點的橫坐標是A點橫坐標的2倍，

∴OC=DP=BP，

∴k=OCAC=BP2AP=12.

∴該雙曲線的解析式是：y= .