Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD＝45°，AD與BE交于點F．

（1）求證：△ADC≌△BDF；

（2）求證：BF＝2AE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得AD＝BD，再根據同角的余角相等求出∠CAD＝∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等；（2）根據全等三角形對應邊相等可得BF＝AC，再根據等腰三角形三線合一的性質可得AC＝2AE，從而得證．

證明：（1）∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AD＝BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，

∠CBE+∠ACD＝90°，

∴∠CAD＝∠CBE，

在△ADC和△BDF中，，

∴△ADC≌△BDF（ASA）；

（2）∵△ADC≌△BDF，

∴BF＝AC，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴AC＝2AE，

∴BF＝2AE．