Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，點在⊙上，平分，是⊙的切線，與相交于點.

（1）求證：；

（2）若，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1））設∠BAD=α，由于AD平分∠BAC，所以∠CAD=∠BAD=α，進而求出∠D=∠BED=90°﹣α，從而可知BD=BE；

（2）設CE=x，由于AB是⊙O的直徑，∠AFB=90°，又因為BD=BE，DE=2，FE=FD=1，由于BD=，所以tanα=，從而可求出AB=，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．

試題解析：（1）設∠BAD=α，

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=α，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°﹣2α，

∵BD是⊙O的切線，∴BD⊥AB，∴∠DBE=2α，∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，

∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，∴∠D=∠BED，∴BD=BE

（2）設AD交⊙O于點F，CE=x，則AC=2x，連接BF，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，

∵BD=BE，DE=2，∴FE=FD=1，

∵BD=，∴tanα=，∴AB=.

在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，

∴解得：x=﹣或x=，∴CE=；