Question

【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D為AC延長線上一點,連接BD,AE⊥BD于點E.

(1)記△ABC得外接圓為⊙0,

①請用文字描述圓心0的位置;

②求證:點E一定在⊙0上.

(2)將射線AE繞點A順時針旋轉45°后,所得到的射線與BD延長線交于點F,連接CF,CE.

①依題意補全圖形;

②用等式表示線段AF,CE,BE的數量關系,并證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）AF=2CE+BE

【解析】

(1)連接OC,OE, 可得OC=OE=OA=OB=AB,即點E在以O為圓心,OA為半徑的圓上,

即點E在△ABC的外接圓⊙O上.

(2) 過點C作CG⊥CE,與BF交于點G,可證的∠BCG=∠ECA及△ACE≌△BCG(ASA)，可得BG=AE,EC=GC，由旋轉的性質可得∠EFA=90°-∠EAF=45°=∠EAF,AE=EF，可得AF=2CE+BE.

(1)①線段AB的中點;

②證明:如圖,

連接OC,OE,

∵AE⊥BD,

∴∠AEB=90°,

∵∠ACB=90°,O為AB中點,

∴OC=OE=OA=OB=AB,

∴點E在以O為圓心,OA為半徑的圓上,

即點E在△ABC的外接圓⊙O上.

(2)①如上圖中所示,

②AF=2CE+BE;

證明如下:

過點C作CG⊥CE,與BF交于點G.

∴∠ECG=∠BCA=90°,

∴∠ECG+∠BCE=∠BCA+∠BCE,

即∠BCG=∠ECA.

∵E,A,B,C在以O為圓心,OA為半徑的圓上,

∴∠EAC=∠EBC.

∵BC=AC,

∴△ACE≌△BCG(ASA)

∴BG=AE,EC=GC.

∴在Rt△CEG中,EG=.

∵由旋轉,∠EAF=45°,而∠AEF=90°,

∴∠EFA=90°-∠EAF=45°=∠EAF,

∴AE=EF，

∴在Rt△AEF中,AF=.

∵BG=BE+EG=BE+CE,

∴AF=2CE+BE.