Question

【題目】如圖，拋物線的頂點為，對稱軸為直線，且經過點，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連結、，求的面積；

（3）點是拋物線對稱軸上一點，若為等腰三角形，請直接寫出所有點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積為1；（3）、、 、

【解析】

（1）對稱軸為直線x=1=-，解得：b=2，y=-x2+2x+c，將點A的坐標代入上式并解得：c=2，即可求解；

（2）點B（0，2），點C（1，3），△OBC的面積=×OBxC，即可求解；

（3）分AC=PA、AC=PC、PA=PC三種情況，分別求解即可．

（1）對稱軸為直線x=1=-，解得：b=2，

∴y=-x2+2x+c，

將點的坐標代入上式得：-9+6+c=-1

解得：c=2，

故拋物線的表達式為：y=-x2+2x+2；

（2）對于y=-x2+2x+2，令x=0，則y=2

∴點B（0，2），

∵點C為頂點，對稱軸為直線，

∴點C（1，3），

△OBC的面積=×OBxC=×2×1=1；

（3）設點P（1，m），點A（3，-1），點C（1，3），

AC2=20，PA2=4+（m+1）2，PC2=（m-3）2，

①當AC=PA時，20=4+（m+1）2，解得：m=3或-5；

②當AC=PC時，同理可得：m=3±2；

③當PA=PC時，同理可得：m=，

即點P的坐標為：（1，3）或（1，-5）或（1，3+2）或（1，3-2）或（1，）．