Question

【題目】在等邊△ABC中，E為BC邊上一點，G為BC延長線上一點，過點E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分線于點M．

（1）如圖1，當點E在BC邊的中點位置時，求證：AE＝EM；

（2）如圖2，當點E在BC邊的任意位置時，（1）中的結論是否成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結論成立，理由見解析.

【解析】

（1）取AB的中點N，連接EN，可證明△ANE≌△ECM，可證得AE＝EM；

（2）在AB上取點H，使BH＝BE，根據等邊三角形的證明△AHE≌△ECM即可求解.

（1）證明：取AB的中點N，連接EN，

∵△ABC為等邊三角形，E，N為中點，

∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，

∴AN＝NE＝EC，∠NAE＝∠NEA＝30°，∴∠ANE＝120°，

∵∠AEM＝60°，∴∠MEC＝30°，∴∠NAE＝∠CEM，

∵CM平分∠ACG，∴∠ACM＝60°，∴∠ECM＝∠ANE＝120°，

在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM（ASA），

∴AE＝EM；

（2）在AB上取點H，使BH＝BE，

∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠B＝60°．

∵BH＝BE，∴AH＝CE．

∴△BHE是等邊三角形，∴∠BHE＝60°．∴∠AHE＝120°．

∵∠ECM＝120°．∴∠AHE＝∠ECM．

∵∠AEM+∠MEC=∠ABC+∠EAH，∴∠EAH=∠MEC

在△AHE和△ECM中，∴△AHE≌△ECM（ASA）．

∴AE＝EM．