Question

【題目】（2016吉林省）如圖1，在平面直角坐標系中，點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，以OB為邊向上作等邊三角形AOB，拋物線l：經過點O，A，B三點．

（1）當m=2時，a= ，當m=3時，a= ；

（2）根據（1）中的結果，猜想a與m的關系，并證明你的結論；

（3）如圖2，在圖1的基礎上，作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點，PQ的長度為2n，當△APQ為等腰直角三角形時，a和n的關系式為 ；

（4）利用（2）（3）中的結論，求△AOB與△APQ的面積比．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）；（4）：1．

【解析】試題分析：（1）由△AOB為等邊三角形，AB=2m，得出點A，B坐標，再由點A，B，O在拋物線上建立方程組，得出結論，最后代m=2，m=3，求值即可；

（2）同（1）的方法得出結論

（3）由△APQ為等腰直角三角形，PQ的長度為2n，設A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），建立方程組求解即可；

（4）由（2）（3）的結論得到m=n，再根據面積公式列出式子，代入化簡即可．

試題解析：解：（1）如圖1，∵點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，∴B（2m，0）．∵以OB為邊向上作等邊三角形AOB，∴AM=m，OM=m，∴A（m，m）．∵拋物線l：經過點O，A，B三點，∴，∴．

當m=2時，a=，當m=3時，a=．故答案為：，；

（2）．理由：如圖1，∵點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，∴B（2m，0）．∵以OB為邊向上作等邊三角形AOB，∴AM=m，OM=m，∴A（m，m）．∵拋物線l：經過點O，A，B三點，∴，∴，∴；

（3）如圖2，∵△APQ為等腰直角三角形，PQ的長度為2n，設A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d）．∵P，Q，A，O在拋物線l：上，∴，∴，①﹣②化簡得，2ae﹣an+b=1④，①﹣③化簡得：﹣2ae﹣an﹣b=1⑤，④+⑤化簡得：an=﹣1，∴．故答案為：．

（4）∵OB的長度為2m，AM=m，∴S△AOB=OB×AM=×2m×m=，由（3）有，AN=n．

∵PQ的長度為2n，∴S△APQ=PQ×AN=×2n×n=，由（2）（3）有，，，∴，∴m=n，∴===，∴△AOB與△APQ的面積比為：1．