Question

【題目】如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內切圓圓心O，且點E在半圓上．

（1）當正方形的頂點F也在半圓弧上時，半圓的半徑與正方形邊長的比為　 　；

（2）當正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內切圓⊙O的半徑r＝4，求半圓的直徑AB的值；

（3）若半圓的半徑為R，直接寫出⊙O半徑r可取得的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AB＝21；（3）

【解析】

（1）根據圓和正方形的對稱性可知：，在直角三角形FGH中，利用勾股定理可得，從而用含a的代數式表示半圓的半徑為，正方形邊長為2a，所以可求得半圓的半徑與正方形邊長的比；

（2）切點分別為I，J，連接EB、AE，OJ、OI，可得OJCI是正方形，且邊長是4，可設BD＝x，AD＝y，則BD＝BJ＝x，AD＝AI＝y，分別利用直角三角形ABC和直角三角形AEB中的勾股定理和相似比作為相等關系列方程組求解即可求得半圓的直徑AB＝21．

（3）根據（2）中得出方程解答即可．

解：（1）如圖，根據圓和正方形的對稱性可知：，

H為半圓的圓心，

不妨設GH＝a，則GF＝2a，

在直角三角形FGH中，由勾股定理可得，由此可得，半圓的半徑為，正方形邊長為2a，

所以半圓的半徑與正方形邊長的比是；

（2）因為正方形DEFG的面積為100，所以正方形DEFG邊長為10．

切點分別為I，J，連接EB、AE，OI、OJ，

∵AC、BC是⊙O的切線，

∴CJ＝CI，∠OJC＝∠OIC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴四邊形OICJ是正方形，且邊長是4，

設BD＝x，AD＝y，則BD＝BI＝x，AD＝AJ＝y，

在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2＝（x+y）2①；

在直角三角形AEB中，

∵∠AEB＝90°，ED⊥AB，

∴△ADE∽△BDE∽△ABE，

∴ 即ED2＝ADBD，即102＝xy②．

解①式和②式，得x+y＝21，

即半圓的直徑AB＝21；

（3）由（2）可得：，

當點C與點E重合且為半圓弧的中點時，⊙O半徑r可取得的最大值為．