Question

【題目】如圖1，點為線段上一點，一副直角三角板的直角頂點與點重合，直角邊、在線段上，．

（1）將圖1中的三角板繞著點沿順時針方向旋轉到如圖2所示的位置，若，則________；猜想與的數量關系為________；

（2）將圖1中的三角板繞著點沿逆時針方向按每秒的速度旋轉一周，三角板不動，請問幾秒時所在的直線平分？

（3）將圖1中的三角板繞著點沿逆時針方向按每秒的速度旋轉一周，同時三角板繞著點沿順時針方向按每秒的速度旋轉（隨三角板停止而停止），請計算幾秒時與的角分線共線．

Answer 1

【答案】（1）145°，180°；（2）3秒或15秒后OD所在的直線平分∠AOB；（3）秒或或秒后與的角分線共線．

【解析】

（1）根據互余關系先求出∠AOD，再由角的和差求出結果；

（2）當沿逆時針方向旋轉45°或225°時，OD所在的直線平分∠AOB，由此便可求得結果；

（3）①當∠COD和∠AOB角平分線夾角為180時，②當∠COD和∠AOB角平分線重合時，即夾角為0°，③當∠COD和∠AOB角平分線重合后再次夾角為180°時，列出關于t的方程進行解答．

解：（1）∵∠COD=90°，∠AOC=35°，

∴∠AOD=∠COD-∠AOC=55°，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD=∠AOB+AOD=145°,

∵∠BOD=∠AOD+∠AOC+BOC，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOD+∠AOC+∠BOC=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°，

∴∠AOC+∠BOD=∠=180°,

故答案為：145°，180°；

（2）根據題意可得，

當旋轉45°或225°時，OD所在的直線平分∠AOB，

所以，旋轉時間為：45°÷15°=3（秒），225°÷15°=15（秒），

則3秒或15秒后OD所在的直線平分∠AOB；

（3）起始位置∠COD和∠AOB角平分線夾角為90°，

①當∠COD和∠AOB角平分線夾角為180時，

，

解得（秒）；

②當∠COD和∠AOB角平分線重合時，即夾角為0°，

，

解得：（秒）；

③當∠COD和∠AOB角平分線重合后再次夾角為180°時，

，

解得：（秒）；

綜上，秒或或秒后與的角分線共線．