Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2＋bx＋C經(jīng)過A(0，3)，B(1，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M.

(1)求b、C的值；

(2)將△OAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A落到點(diǎn)C的位置，該拋物線沿y軸上下平移后經(jīng)過點(diǎn)C，求平移后所得拋物線的表達(dá)式；

(3)設(shè)(2)中平移所得的拋物線與y軸的交點(diǎn)為A1，頂點(diǎn)為M1，若點(diǎn)P在平移后的拋物線上，且滿足△PMM1的面積是△PAA1面積的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)b=-4,c=3;(2) y＝x2－4x＋1；(3) P (，－)或(－1，6)．

【解析】

（1）直接將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的解析式中求得未知系數(shù)的值即可；
（2）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得OA和OB的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后向下平移2個(gè)單位即可得到平移后的拋物線的解析式；
（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，x02-4x0+1），然后分0＜x0＜2時(shí)和x0＜0時(shí)兩種情況利用S△PMM1=3S△PAA1得到有關(guān)x0的方程求得x0即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋C經(jīng)過A(0，3)，B(1，0)兩點(diǎn)，

∴，解得；

(2)由(1)知，拋物線的表達(dá)式為y＝x2－4x＋3.

∵A(0，3)，B(1，0)

∴OA＝3，OB＝1，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(4，1)，

當(dāng)x＝4時(shí)，由y＝x2－4x＋3得y＝3，

則拋物線y＝x2－4x＋3經(jīng)過點(diǎn)(4，3)，

∴將原拋物線沿y軸向下平移2個(gè)單位后過點(diǎn)C，

∴平移后的拋物線的表達(dá)式為y＝x2－4x＋1；

(3)∵點(diǎn)P在y＝x2－4x＋1上，可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，x02－4x0＋1)

將y＝x2－4x＋1配方得y＝(x－2)2－3，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，

∵S△PMM1＝|x0－2|·MM1，

S△PAA1＝ |x0|·AA1，

S△PMM1＝3S△PAA1，MM1＝AA1＝2，

∴x0<2，|x0－2|＝3|x0|.

分情況討論：

①當(dāng)0<x0<2時(shí)，

則有2－x0＝3x0，

解得x0＝，則x02－4x0＋1＝－，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，－)；

②當(dāng)x0<0時(shí)，

則有2－x0＝－3x0，解得x0＝－1，則x02－4x0＋1＝6，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，6)．

故滿足△PMM1的面積是△PAA1面積的3倍時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，－)或(－1，6)．