Question

【題目】如圖所示，在四邊形ABCD中，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=FD．

（1）若四邊形AECF是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）若四邊形AECF是菱形，那么四邊形ABCD也是菱形嗎？為什么？

（3）若四邊形AECF是矩形，試判斷四邊形ABCD是否為矩形，不必寫理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）是，理由見解析；（3）不是.

【解析】試題分析：本題考查了平行四邊形的性質與判定、菱形的性質與判定、矩形的性質；熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形的性質、并能進行推理論證是解決問題的關鍵．

（1）連接AC交BD于點O，由平行四邊形的性質得出OA=OC，OE=OF，再證出OB=OD，即可得出結論；

（2）由菱形的性質得出AC⊥BD，即可得出結論；

（3）由矩形的性質得出OA=OC=OE=OF，證出OB=OD，AC＜BD，得出四邊形ABCD是平行四邊形，不是矩形．

試題解析：（1）證明：連接AC交BD于點O，如圖所示：

∵四邊形AECF是平行四邊形，

∴OA=OC，OE=OF，

∵BE=DF，

∴OB=OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形； ]

（2）解：理由如下：

∵四邊形AECF是菱形，

∴AC⊥BD，

由（1）知，四邊形ABCD是平行四邊形；

∴四邊形ABCD是菱形；

（3）解：四邊形ABCD不是矩形；理由如下：

∵四邊形AECF是矩形，

∴OA=OC，OE=OF，AC=EF，

∴OA=OC=OE=OF，

∵BE=DF，

∴OB=OD，

∴AC＜BD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不是矩形．