Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足 = ，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．給出下列結論： ①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= ；④S△DEF=4 ．
其中正確的是（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB， ∴ ，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正確；
②∵ = ，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG﹣CF=2；
故②正確；
③∵AF=3，FG=2，
∴AG= = ，
∴在Rt△AGD中，tan∠ADG= = ，
∴tan∠E= ；
故③錯誤；
④∵DF=DG+FG=6，AD= = ，
∴S△ADF= DFAG= ×6× =3 ，
∵△ADF∽△AED，
∴ =（ ）2 ，
∴ = ，
∴S△AED=7 ，
∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4 ；
故④正確．
所以答案是：①②④．
【考點精析】本題主要考查了垂徑定理和圓周角定理的相關知識點，需要掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．