Question

（2006•鎮江）在平面直角坐標系中，已知二次函數y=a（x-1）²+k的圖象與x軸相交于點A，B，頂點為C，點D在這個二次函數圖象的對稱軸上．若四邊形ACBD是一個邊長為2且有一個內角為60°的菱形．求此二次函數的表達式．

Answer 1

【答案】分析：根據題意，畫出圖形，可得以下四種情況：
（1）以菱形長對角線兩頂點作為A、B，且拋物線開口向上；
（2）以菱形長對角線兩頂點作為A、B，且拋物線開口向下；
（3）以菱形短對角線兩頂點作為A、B，且拋物線開口向上；
（4）以菱形短對角線兩頂點作為A、B，且拋物線開口向下，
解答時都利用四邊形ACBD是一個邊長為2且有一個內角為60°的條件根據解直角三角形的相關知識解答．
解答：解：本題共有4種情況．
設二次函數的圖象的對稱軸與x軸相交于點E．
（1）如圖①，
當∠CAD=60°時，
因為ACBD是菱形，一邊長為2，
所以DE=1，BE=，（1分）
所以點D的坐標（1，1），點C的坐標為（1，-1），
解得k=-1，a=．
所以y=（x-1）²-1．（2分）


（2）如圖②，當∠ACB=60°時，由菱形性質知點A的坐標為（0，0），點C的坐標為（1，-）．
解得k=-，a=，
所以y=（x-1）²-．（4分）
同理可得：y=-（x-1）²+1，y=-（x-1）²+．（8分）
所以符合條件的二次函數的表達式有：y=（x-1）²-1，y=（x-1）²-，
y=-（x-1）²+1，y=-（x-1）²+．
點評：解答此題不僅要熟知二次函數的性質，還要熟悉菱形的性質，結合二次函數圖上點的特點，根據解直角三角形的知識，求出相應的邊長，得到B、C的坐標，代入解析式求出a的值即可．