Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y交于點C，∠BAC的平分線與y軸交于點D，與拋物線相交于點Q，P是線段AB上一點，過點P作x軸的垂線，分別交AD，AC于點E，F，連接BE，BF．

（1）如圖1，求線段AC所在直線的解析式；

（2）如圖1，求△BEF面積的最大值和此時點P的坐標；

（3）如圖2，以EF為邊，在它的右側作正方形EFGH，點P在線段AB上運動時正方形EFGH也隨之運動和變化，當正方形EFGH的頂點G或頂點H在線段BC上時，求正方形EFGH的邊長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當x=﹣1時，S△BEF的最大值=．P（﹣1，0）；（3）頂點G在線段BC上時，，正方形的邊長為；頂點H在線段BC上時，，正方形的邊長為．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線解析式求得點A、C的坐標，然后根據待定系數法來求直線AC的直線方程即可；

（2）如答圖2，在直角三角形AOC中利用勾股定理求得AC的長度；過點D作DI⊥AC于點I，構建全等三角形△ADI≌△ADO（SSA）和Rt△CDI，利用全等三角形的性質可以設DI=DO=m，則DC=OC﹣OD=4﹣m．所以根據勾股定理列出關于m的方程，借助于方程解題即可求得點D的坐標；然后利用待定系數法求得直線AD方程，由直線上點的坐標特征、三角形的面積公式和二次函數最值的求法來求△BEF面積的最大值和此時點P的坐標；

（3）需要分類討論：①當頂點G在線段BC上時，如答圖3．設P（t，0），則由一次函數圖象上點的坐標特征和正方形的性質推知，，．所以由正方形的鄰邊相等得到：，易得EF、FG的長度，從而求得點P的坐標和正方形的邊長；

同理，②當頂點H在線段BC上時，，正方形的邊長為．

解：（1）如答圖1，拋物線的解析式為：．

令x=0，則y=﹣4，

∴C（0，﹣4）．

令y=0，則，

解得，x1=﹣3，x2=1．

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

設直線AC所在直線解析式為：y=kx+b（k≠0），

將A（﹣3，0），C（0，﹣4）代入可得，，

解得，

直線AC所在直線解析式為：；

（2）過點D作DI⊥AC于點I，如答圖2．

∵A（﹣3，0），C（0，﹣4），

∴OA=3．

∴OC=4．

在Rt△AOC中，．

∵在△ADI與△ADO中，，

∴△ADI≌△ADO（SSA），

∴AI=AO=3，DI=DO．

設DI=DO=m，則DC=OC﹣OD=4﹣m．

∵IC=AC﹣AI，

∴IC=5﹣3=2．

在Rt△CDI中，∵ID2+IC2=DC2，

∴m2+22=（4﹣m）2，

解得，．

∴．

∴．

設直線AD所在直線解析式為：y=kx+b（k≠0），

將A（﹣3，0），代入可得，，

解得，

直線AD所在直線解析式為：．

又∵直線AC的解析式為：．

∴設P（n，0），則，，

∴BP=1﹣n，，

∴=．

∴該函數的對稱軸是直線x=﹣1．

∴當x=﹣1時，S△BEF的最大值=．

此時，P（﹣1，0）；

（3）由B（1，0），C（0，﹣4）可得直線BC的解析式為：y=4x﹣4．

①當頂點G在線段BC上時，如答圖3．

設P（t，0），則，，．

∴，．

∵EF=FG，

∴，

解得，．

∴．

∴頂點G在線段BC上時，，正方形的邊長為；

②當頂點H在線段BC上時，如答圖4．

設P（t，0），則，，．

∴，．

∵EF=EH，

∴，

解得，．

∴．

∴頂點H在線段BC上時，，正方形的邊長為．

綜上所述，頂點G在線段BC上時，，正方形的邊長為；頂點H在線段BC上時，，正方形的邊長為．