Question

【題目】（2013年廣東梅州11分）用如圖①，②所示的兩個直角三角形（部分邊長及角的度數在圖中已標出），完成以下兩個探究問題：

探究一：將以上兩個三角形如圖③拼接（BC和ED重合），在BC邊上有一動點P．

（1）當點P運動到∠CFB的角平分線上時，連接AP，求線段AP的長；

（2）當點P在運動的過程中出現PA=FC時，求∠PAB的度數．

探究二：如圖④，將△DEF的頂點D放在△ABC的BC邊上的中點處，并以點D為旋轉中心旋轉△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點，連接MN．在旋轉△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：探究一：

（1）依題意畫出圖形，如答圖1所示：

由題意，得∠CFB=60°，FP為角平分線，

則∠CFP=30°。

∴CF=BCsin30°=3×=。

∴CP=CFtan∠CFP=×=1。

過點A作AG⊥BC于點G，則AG=BC=，

∴PG=CG﹣CP=﹣1=。

在Rt△APG中，由勾股定理得：。

（2）由（1）可知，FC=．

如答圖2所示，以點A為圓心，以FC=長為半徑畫弧，與BC交于點P1、P2，則AP1=AP2=。

過點A過AG⊥BC于點G，則AG=BC=，

在Rt△AGP1中，，∴∠P1AG=30°。

∴∠P1AB=45°﹣30°=15°。

同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°。

∴∠PAB的度數為15°或75°。

探究二：△AMN的周長存在有最小值。

如答圖3所示，連接AD，

圖3

∵△ABC為等腰直角三角形，點D為斜邊BC的中點，

∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°。

∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC。

∵在△AMD與△CND中，，

∴△AMD≌△CND（ASA）。∴AM=CN。

設AM=x，則CN=x，，

在Rt△AMN中，由勾股定理得：

，

∴△AMN的周長為：AM+AN+MN= 。

當x=時，有最小值，最小值為。

∴△AMN周長的最小值為。

【解析】探究一：（1）如答圖1所示，過點A作AG⊥BC于點G，構造Rt△APG，利用勾股定理求出AP的長度。

（2）如答圖2所示，符合條件的點P有兩個．解直角三角形，利用特殊角的三角函數值求出角的度數。

探究二：如答圖3所示，證明△AMD≌△CND，得AM=CN，則△AMN兩直角邊長度之和為定值；設AM=x，求出斜邊MN的表達式，利用二次函數的性質求出MN的最小值，從而得到△AMN周長的最小值。