Question

已知關于x的方程x²-2（m+1）x+m²-3=0．
（1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數根？
（2）設x₁、x₂是方程的兩根，且（x₁+x₂）²-（x₁+x₂）-12=0，求m的值．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有兩不等實數根，則根的判別式△=b²-4ac＞0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．
（2）給出方程的兩根，根據所給方程形式，可利用一元二次方程根與系數的關系得到x₁+x₂=2（m+1），代入
且（x₁+x₂）²-（x₁+x₂）-12=0，即可解答．

解答：解：（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=b²-4ac=[-2（m+1）]²-4×1×（m²-3）=16+8m＞0，
解得：m＞-2；
（2）根據根與系數的關系可得：
x₁+x₂=2（m+1），
∵（x₁+x₂）²-（x₁+x₂）-12=0，
∴[2（m+1）]²-2（m+1）-12=0，
解得：m₁=1或m₂=-

5

2

（舍去）
∵m＞-2；
∴m=1．

點評：根據方程的根的情況即可得到關于未知系數的不等式，轉化為結不等式的問題，另外（2）把求未知系數的問題，根據一元二次方程的根與系數的關系即可轉化為方程的問題．