Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是直線AB上的一動點（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于F．

（1）點D在邊AB上時，請證明：BD＝AB﹣AF；

（2）試探索：點D在AB的延長線或反向延長線上時，請在備用圖中畫出圖形，（1）中的結論是否成立？若不成立，請直接寫出正確結論（不需要證明）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）結論不成立

【解析】

（1）易證∠FBA=∠FCE，結合條件容易證到△FAB≌△DAC，從而有FA=DA，就可得到AB=AD+BD=FA+BD．

（2）由于點D的位置在變化，因此線段AF、BD、AB之間的大小關系也會相應地發(fā)生變化，只需畫出圖象并借鑒（1）中的證明思路就可解決問題．

（1）證明∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，

∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°，

∴∠FBA=∠FCE，

∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，

∴∠FAB=∠DAC，

在△FAB和△DAC中，，

∴△FAB≌△DAC（ASA），

∴FA=DA，

∴AB=AD+BD=FA+BD，

∴BD=AB-AF；

（2）解：（1）中的結論不成立．

點D在AB的延長線上時，AB=AF-BD；點D在AB的反向延長線上時，AB=BD-AF．

理由如下：

①當點D在AB的延長線上時，如圖2．

同理可得：FA=DA．

則AB=AD-BD=AF-BD．

②點D在AB的反向延長線上時，如圖3．

同理可得：FA=DA．

則AB=BD-AD=BD-AF．