Question

【題目】如圖①，△ABC中， BD平分∠ABC ， 且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點D ．

（1）若 ， ，求∠D的度數；
（2）若把∠A截去，得到四邊形MNCB ， 如圖②，猜想∠D、∠M、∠N的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，

∵CD平分△ABC的外角，

∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，

∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.

（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N 180 ° ).

∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,

∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.

=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.

=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.

= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,

或寫成

【解析】(1)根據角平分線的定義可得∠DBC=37.5°，根據鄰補角定義以及角平分線定義求得∠DCA的度數為67.5°，最后根據三角形內角和定理即可求得∠D的度數；

(2)由四邊形內角和與角平分線性質即可求解.

【考點精析】根據題目的已知條件，利用角的平分線和對頂角和鄰補角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線；兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個．