Question

（2009•上海模擬）已知在正△ABC中，AB=4，點M是射線AB上的任意一點（點M與點A、B不重合），點N在邊BC的延長線上，且AM=CN．連接MN，交直線AC于點D．設AM=x，CD=y．
（1）如圖，當點M在邊AB上時，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）當點M在邊AB上，且四邊形BCDM的面積等于△DCN面積的4倍時，求x的值．
（3）過點M作ME⊥AC，垂足為點E．當點M在射線AB上移動時，線段DE的長是否會改變？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）過點M作MF∥BC交AC于F，由三角形的性質可以得出△MFD≌△NCD，就可以得出FD=CD，就有AF=MF=AM=4-2x而得出結論；
（2）由△MFD≌△NCD可以得出S_△MFD=S_△NCD，就有S_{四邊形BCDM}=4S_△MFD，就可以得出S_梯形MBCF=5S_△MFD，設△MFD的MF邊上的高為h，就有梯形MBCF的高為2h，根據梯形MBCF的面積與△MFD的面積的關系建立方程求出其解即可；
（3）根據等邊三角形的性質由勾股定理就可以表示出DE的值，從而求出結論．

解答：解：（1）過點M作MF∥BC交AC于F，
∴∠FMD=∠CND，∠MFD=∠NCD，∠AMF=∠B．
∵△ABC為正三角形，
∴∠A=∠B=60°，AB=AC=4．
∴∠AMF=∠B=60．
∴△AMF是等邊三角形，
∴AM=AF=MF．
∵AM=CN，
∴MF=CN．
在△MFD和△NCD中，

∠MFD=∠NCD MF=NC ∠FMD=∠CN

，
∴△MFD≌△NCD（ASA），
∴FD=CD=x．
∴AF=4-2x，
∵AM=MF=y，
∴y=4-2x；

（2）∵△MFD≌△NCD，
∴S_△MFD=S_△NCD．
∵S_{四邊形BCDM}=4S_△MFD，
∴S_{四邊形BCDM}=4S_△MFD，
∴S_梯形MBCF=5S_△MFD．
∵△MFD≌△NCD，
∴MF和CN邊上的高相等為h，
∴梯形MBCF的高為2h．
∴

(4-2x+4)2h

2

=5×

(4-2x)h

2

，
∴x=

2

3

．
答：x=

2

3

；

（3）線段DE的長不會改變．
理由：∵ME⊥AC，
∴EF=

1

2

AF=

1

2

（4-2x）=2-x．
∵ED=EF+FD=2-x+x=2．
∴線段DE的長是2不會改變．

點評：本題考查了等邊三角形的性質及判定的運用，全等三角形的判定及性質的運用，三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用，解答時靈活運用等邊三角形的性質是解答本題的關鍵．