Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結論：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③點P是△ACQ的外心；④APAD＝CQCB．其中正確的是_____（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①錯誤，假設成立，推出矛盾即可；
②正確．想辦法證明∠GPD=∠GDP即可；
③正確．想辦法證明PC=PQ=PA即可；
④正確．證明△APF∽△ABD，可得APAD=AFAB，證明△ACF∽△ABC，可得AC2=AFAB，證明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQCB，由此即可解決問題；

：①錯誤，假設∠BAD=∠ABC，則，
∵，
∴，顯然不可能，故①錯誤．
②正確．連接OD．

∵GD是切線，
∴DG⊥OD，
∴∠GDP+∠ADO=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠OAD，
∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，
∴∠GPD=∠GDP，
∴GD=GP，故②正確．
③正確．∵AB⊥CE，
∴ ，
∵，
∴，
∴∠CAD=∠ACE，
∴PC=PA，
∵AB是直徑，
∴∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ=PA，
∵∠ACQ=90°，
∴點P是△ACQ的外心．故③正確．
④正確．連接BD．
∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴，
∴APAD=AFAB，
∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，
∴△ACF∽△ABC，
可得AC2=AFAB，
∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，
∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQCB，
∴APAD=CQCB．故④正確，
故答案為②③④．