Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在邊AC上，點E是BD的中點，CE的延長線交邊AB于點F，且∠CED=∠A．
（1）求證：AC=AF；
（2）在邊AB的下方畫∠GBA=∠CED，交CF的延長線于點G，聯結DG，在圖中畫出圖形，并證明四邊形CDGB是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BCD=90°，DE=EB，

∴EC=ED=EB，

∴∠EDC=∠ECD，

∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠A+∠DCE+∠AFC=180°，

又∵∠CED=∠A，

∴∠CDE=∠AFC，

∴∠AFC=∠ACF，

∴AC=AF

（2）解：圖象如圖所示．

∵∠CED=∠ABG，∠CED=∠A，

∴∠A=∠ABG，

∴AC∥BG，

∴∠ECD=∠BGE，

在△CED和△GEB中，

，

∴△CED≌△GEB，

∴CE=EG，

∴CE=DE=EB，

∴CG=BD，CE=EG，DE=EB，

∴四邊形CDGB是平行四邊形，∵BD=CG，

∴四邊形CDGB是矩形

【解析】（1）只要證明∠CDE=∠ECD，∠CDE=∠AFC即可解決問題．（2）只要證明CG=BD，CE=EG，DE=EB即可．
【考點精析】利用矩形的判定方法和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．