Question

已知，二次函數y=ax²+bx的圖象如圖所示．
（1）若二次函數的對稱軸方程為x=1，求二次函數的解析式；
（2）已知一次函數y=kx+n，點P（m，0）是x軸上的一個動點．若在（1）的條件下，過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數的圖象于點M，交二次函數y=ax²+bx的圖象于點N．若只有當1＜m＜

5

3

時，點M位于點N的上方，求這個一次函數的解析式；
（3）若一元二次方程ax²+bx+q=0有實數根，請你構造恰當的函數，根據圖象直接寫出q的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的對稱軸方程為x=1，可得出函數經過點（0，0）和（2，0），結合頂點坐標可得出拋物線的解析式；
（2）根據題意可判斷出一次函數的圖象與二次函數的圖象交點的橫坐標分別為1和

5

3

，代入二次函數解析式可求出交點坐標，代入一次函數解析式可得出k與n的值，繼而得出一次函數解析式．
（3）先根據拋物線的開口向上可知a＞0，由頂點縱坐標為-3得出b與a關系，再根據一元二次方程ax²+bx+q=0有實數根可得到關于q的不等式，求出q的取值范圍即可．

解答：解：（1）由二次函數的圖象可知：二次函數的頂點坐標為（1，-3），
∵二次函數的對稱軸方程為x=1，
∴二次函數與x軸的交點坐標為（0，0），（2，0），
于是得到方程組

a+b=-3 4a+2b=0.

，
解得：

a=3 b=-6.

，
故二次函數的解析式為 y=3x²-6x．

（2）由（1）得二次函數解析式為y=3x²-6x．
依題意可知，一次函數的圖象與二次函數的圖象交點的橫坐標分別為1和

5

3

，
由此可得交點坐標為（1，-3）和(

5

3

， -

5

3

)，
將交點坐標分別代入一次函數解析式y=kx+n中，
得

k+n=-3 5 3 k+n=- 5 3

，
解得：

k=2 n=-5

，
故一次函數的解析式為y=2x-5．

（3）一元二次方程ax²+bx+q=0有實數根，可以理解為y=ax²+bx和y=-q有交點，

可見，-q≥-3，
解得：q≤3，
故q的最大值為3．

點評：本題考查了二次函數與一次函數的綜合，第一問是常見的問題，利用待定系數法可以解決，第二問的關鍵是確定交點的坐標，第三問的關鍵是數形結合，難度較大．