Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠ACB的平分線于點E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點F.

(1)探究線段EF與OC的數量關系并說明理由．

(2)當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？請說明理由．

(3)當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE________是菱形或正方形(填“可能”或“不可能”)．請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當點運動到的中點，且滿足為直角的直角三角形時，四邊形是正方形；（3）不可能.

【解析】

（1）由直線，交的平分線于點，交的外角平分線于點，易證得與是等腰三角形，則可證得；

（2）正方形的判定問題，四邊形若是正方形，則必有對角線，所以為的中點，四邊形是矩形．在中，當時，則得對角線互相垂直，可滿足其為正方形；

（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．

解：（1）．理由如下：

是的角平分線，

，

又，

，

，

，

同理可得：，

；

∴.

（2）當點運動到的中點，且滿足為直角的直角三角形時，四邊形是正方形．理由如下：

當點運動到的中點時，，

又，

四邊形是平行四邊形，

，

，

，即，

四邊形是矩形．

已知，當，則

，

，

四邊形是正方形；

（3）不可能．理由如下：如圖，

平分，平分，

，

若四邊形是菱形，則，

但在中，不可能存在兩個角為，所以不存在其為菱形．

故答案為：不可能．