Question

【題目】如圖：已知正方形OABC的邊OC、OA分別在x軸和y軸的正半軸上，點B坐標為（4，4）．二次函數的圖象經過點A、B，且與x軸的交點為E、F．點P在線段EF上運動，過點O作OH⊥AP于點H，直線OH交直線BC于點D，連接AD．

（1）求b、c的值；

（2）在點P運動過程中，當△AOP與以A、B、D為頂點的三角形相似時，求點P的坐標；

（3）在點P運動到OC中點時，能否將△AOP繞平面內某點旋轉90°后使得△AOP的兩個頂點落在x軸上方的拋物線上？若能，請直接寫出旋轉中心M的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） (2)P1（2，0）；P2（2+2，0）；P3（2﹣2，0）．（3）（2，2），（1 ，3），（﹣， ）；

【解析】（1）把（0，4），（4，4）分別代入y=﹣ x2+bx+c中，

得，

解得 ；

（2）解：設P（t，0）①當P點在線段OC上時，如原圖所示；

∵∠OAP＜45°，∠BAD＜45°

∵若△AOP∽△ABD，AO=AB，

∴OP=BD，

∴OP=BD=CD=2，

∴t=2

∴P1（2，0）．

②點P在線段CF上時，如圖1所示：

∵∠ADB＞∠ODC，

∵∠APO=∠ODC，

∴∠ABD＞∠APO，

∴若△AOP∽△ABD，則=，

在△AOP與△OCD中

∴△AOP≌△OCD（AAS），

∴OP=CD，

∴DB=PC=t﹣4，

∴ ，

解得t=2﹣2 （舍去）或t=2+2，

∴P2（2+2，0）．

③點P在線段OE上時，如圖2所示；

∵∠COD+∠ODC=90°，∠HOP+∠APO=90°，∠COD=∠HOP，

∴∠ODC=∠APO，

∵∠ODC＞∠ADB，

∴∠APO＞∠ADB，

∴若△AOP∽△ABD，則=，

在△AOP與△OCD中

∴△AOP≌△OCD（AAS），

∴OP=CD，

∴DB=PC=4﹣t，

∴，

解得t=2+2（舍去）或t=2﹣2，

∴P3（2﹣2，0）．

（3）（2，2），（1 ，3），（﹣， ）；

如圖3所示：設△AOP繞點M順時針旋轉90°得到△A′O′P′，且P′、A′兩點在拋物線y=﹣ x2+ x+4上，

設O′（x，y），則P′（x，y﹣2），A′（x+4，y）

∴，

解得，

作MG⊥O′A′于G，MH⊥OC于H，設M（a，b），

∵△O′MG≌△MOH，

∴O′G=MH=b，MG=OH=a，

∴，

解得，

∴M（1 ，3）．