Question

【題目】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系。

小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 ；

如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）EF=BE+DF；EF=BE+DF仍然成立，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據全等三角形對應邊相等即可得結論；（2）EF=BE+DF仍然成立，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，根據同角的補角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后求解即可；

試題解析：解：（1）EF=BE+DF；

EF=BE+DF仍然成立．

證明如下：如圖，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；