Question

【題目】閱讀下面材料：小天在學習銳角三角函數中遇到這樣一個問題：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，則tan22.5°=　 　

小天根據學習幾何的經驗，先畫出了幾何圖形（如圖1），他發現22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若構造有特殊角的直角三角形，則可能解決這個問題．于是小天嘗試著在CB邊上截取CD=CA，連接AD（如圖2），通過構造有特殊角（45°）的直角三角形，經過推理和計算使問題得到解決．

（1）請回答：tan22.5°=　 　．

（2）解決問題：

如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，請借助△ABC構造出15°的角，并計算tan15°值．

Answer 1

【答案】（1）（2）2-

【解析】試題分析：（1）設AC＝CD＝x，根據勾股定理求出AD，然后根據等角對等邊證明BD＝AD，進而根據正切函數的定義求出即可；

（2）延長BA至D，使AD＝AB，作CH⊥AB于H，設CH＝x，根據直角三角形的性質得到DH＝2x＋x，根據正切的概念計算．

試題解析：

解：（1）在CB邊上截取CD＝CA，連接AD，

則∠ADC＝∠DAC＝45°，

設AC＝x，則CD＝x，

由勾股定理得，AD＝＝x，

∵∠ADC＝45°，∠B＝22.5°，

∴∠BAD＝∠B，

∴DA＝DB＝x，

則BC＝（＋1）x，

tan22.5°＝tanB＝＝﹣1，

故答案為：﹣1；

（2）延長BA至D，使AD＝AB，作CH⊥AB于H，

∵AB＝AC，

∴AD＝AC，

∴∠ACD＝∠D＝∠A＝15°，

設CH＝x，

∵∠CAH＝30°，

∴AC＝2CH＝2x，

∴AD＝2x，

由勾股定理得，AH＝＝x，

∴DH＝2x＋x，

則tan15°＝＝2﹣．