Question

【題目】已知：△ABC內接于⊙O，D是弧BC上一點，OD⊥BC，垂足為H．

（1）如圖1，當圓心O在AB邊上時，求證：AC=2OH；

（2）如圖2，當圓心O在△ABC外部時，連接AD、CD，AD與BC交于點P，求證：∠ACD=∠APB；

（3）在（2）的條件下，如圖3，連接BD，E為⊙O上一點，連接DE交BC于點Q、交AB于點N，連接OE，BF為⊙O的弦，BF⊥OE于點R交DE于點G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=，BN=，tan∠ABC=，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）24.

【解析】

試題分析：（1）易證OH為△ABC的中位線，可得AC=2OH；（2）∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，又∵∠PAC =∠BCD，可證∠ACD=∠APB；（3）連接AO延長交于⊙O于點I，連接IC，AB與OD相交于點M，連接OB，易證∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ.在Rt△BNQ中，根據tan∠ABC=，可求得NQ、BQ的長. 利用圓周角定理可求得IC和AI的長度，設QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的長度，利用垂徑定理可求得ED的長度，最后利用tan∠OED= 即可求得RG的長度，最后由垂徑定理可求得BF的長度．

試題解析：（1）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴BH=HC，∵點O是AB的中點，∴AC=2OH；（2）在⊙O中，∵OD⊥BC，∴弧BD=弧CD，∴∠PAC=∠BCD，∵∠APB=∠PAC+∠ACP，∠ACD=∠ACB+∠BCD，∴∠ACD=∠APB；（3）連接AO延長交于⊙O于點I，連接IC，AB與OD相交于點M，連接OB，

∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，∵∠ABD+∠BDN=∠AND，∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，∵∠ACD+∠ABD=180°，∴2∠AND=180°，∴∠AND=90°，∵tan∠ABC=，∴，∴，∴，∵∠BNQ=∠QHD=90°，∴∠ABC=∠QDH，∵OE=OD，

∴∠OED=∠QDH，∵∠ERG=90°，∴∠OED=∠GBN，∴∠GBN=∠ABC，∵AB⊥ED，∴BG=BQ=，GN=NQ=，

∵∠ACI=90°，tan∠AIC=tan∠ABC=，∴，∴IC=，∴由勾股定理可求得：AI=25，

設QH=x，∵tan∠ABC=tan∠ODE=，∴，∴HD=2x，∴OH=OD﹣HD=，BH=BQ+QH=，

∵OB2=BH2+OH2，∴，解得：，當QH=時，∴QD=，

∴ND=，∴MN=，MD=15,∵，∴QH=不符合題意，舍去，當QH=時，∴QD=

∴ND=NQ+QD=，ED=，∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=，∵tan∠OED=，∴，

∴EG=RG，∴RG=，∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24．