Question

【題目】(1)如圖1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)．以點B為旋轉中心，將△BEC按逆時針方向旋轉∠ABC，得到△BE′A（點C與點A重合，點E到點E′處），連接DE′．求證：DE′=DE；

（2）如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點，

且滿足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜45°) ．求證：DE2=AD2+EC2．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）由旋轉的性質易得BE′=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE=∠ABC經等量代換可得∠E′BD=∠DBE，從而可由SAS得△E’BD≌△EBD，得到DE′=DE；

（2）由（1）的啟示，作如（1）的輔助圖形，即可得到直角三角形DE′A，根據勾股定理即可證得結論．

解：（1）∵△BE′A是△BEC按逆時針方向旋轉∠ABC得到，

∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC．

∵∠DBE=∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =∠ABC．

∴∠ABD＋∠E′BA =∠ABC，即∠E′BD=∠ABC．∴∠E′BD=∠DBE．

在△E′BD和△EBD中，∵BE′=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD，

∴△E′BD≌△EBD（SAS）．

∴DE′=DE．

（2）以點B為旋轉中心，將△BEC按逆時針方向旋轉∠ABC=90°，得到△BE′A（點C與點A重合，點E到點E′處），連接DE′．

由（1）知DE′=DE．

由旋轉的性質，知E′A=EC，∠E′ AB=∠ECB．

又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°．

∴∠E′AD=∠E′AB＋∠BAC=90°．

在Rt△DE′A中，DE′2=AD2+E′A2，

∴DE2=AD2+EC2．