Question

【題目】在圓內接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F為弧AD上一點，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E．

⑴求證△ABD為等腰三角形．

⑵求證ACAF=DFFE

Answer 1

【答案】⑴由圓的性質知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠DBA=∠DAB，故△ABD為等腰三角形．

⑵∵∠DBA=∠DAB

∴弧AD=弧BD

又∵BC=AF

∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA

∴弧CD=弧DF

∴CD=DF

再由“圓的內接四邊形外角等于它的內對角”知

∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE

∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE

∴AC：FE=CD：AF

∴ACAF=" CD" FE

而CD=DF，

∴ACAF=DFFE

【解析】

解決此題關鍵要用到與圓相關的性質、定理以及三角形相似的判定，等角對等邊。

有一定的幾何知識的綜合性。考查學生審圖，分析圖中邊角關系的解題技能。