Question

【題目】如圖，△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90，點D為AB邊上的一點，

（1）試說明：∠EAC＝∠B ；

（2）若AD＝15，BD＝36，求DE的長．

（3）若點D在A、B之間移動，當點D為 時，AC與DE互相平分.

（直接寫出答案，不必說明理由）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）39 （3）AB的中點

【解析】試題分析：

（1）先由∠ACB＝∠ECD＝90可得∠ECA=∠DCB，再由“SAS”證△ECA≌△DCB可得結論；

（2）由△ECA≌△DCB可得：AE=BD=36，由∠EAC=∠B=45°可證∠DAE=90°，從而得到△ADE是直角三角形，再由勾股定理可求得DE的長；

（3）如圖，若AC與DE互相平分，由∠DCE=90°，易得CO=AO=DE=OD=OE，從而可得∠ODA=∠OAD=45°，并由此得到∠DOA=90°，再證△COD為等腰直角三角形，可得∠CDO=45°，這樣∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°，即CD⊥AB，∴點D是AB的中點.

試題解析：

（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠ACB-∠ACD =∠ECD-∠ACD，

∴∠ECA＝∠DCB ，

∵△ACB和△ECD都是等腰三角形，

∴EC＝DC，AC＝BC，

∴△ACE≌△BCD，

∴∠EAC＝∠B.

（2）∵△ACE≌△BCD，

∴AE＝BD＝36，

∵∠EAC＝∠B＝45 °，

∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝90°，

∴在Rt△ADE中， ，

∴DE2=152+362 ，

∴DE＝39.

（3）當點D為AB的中點時，AC與DE互相平分，理由如下：

∵AC=BC，D為AB中點，∠ACB=90°，

∴CD=AB=AD，∠CDA=90°，

∴∠DCA=∠DAC=45°，

∵∠ECD=90°，

∴∠ECO=45°=∠DCA，

又∵CD=CE，

∴CO為△DCE的中線.

∵∠CDA=90°，∠CDE=45°，

∴∠ODA=45°=∠CDE，

又∵CD=AD，

∴DO為△ADC的中線.

∴AC和DE互相平分.