Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D是上一點，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點F．

（1）求證：BC是⊙O的切線。
（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DFDB。
（3）在（2）的條件下，延長ED，BA交于點P，若PA=AO，DE=2，求PD的長和⊙O的半徑。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，

∴∠EAB=∠CBE，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴BC是⊙O的切線。

（2）

證明：∵BD平分∠ABE，

∴∠ABD=∠DBE，=，

∴∠DEA=∠DBE，

∵∠EDB=∠BDE，

∴△DEF∽△DBE，

∴=，

∴DE2=DFDB。

（3）

解：連接DA、DO，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠EBD=∠OBD，

∴∠EBD=∠ODB，

∴OD∥BE，

∴=，

∵PA=AO，

∴PA=AO=OB，

∴=

∴=，

∴=，

∵DE=2，

∴PD=4，

∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，

∴∠PDA=∠ABE，

∵OD∥BE，

∴∠AOD=∠ABE，

∴∠PDA=∠AOD，

∵∠P=∠P，

∴△PDA∽△POD，

∴=，

設OA=x，

∴PA=x，PO=2x，

∴=，

∴2x2=16，x=2，

∴OA=2．

【解析】（1）根據圓周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，則CB⊥AB，從而證得BC是⊙O的切線；
（2）通過證得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的對應邊成比例即可證得結論．
（3）連接DA、DO，先證得OD∥BE，得出= ， 然后根據已知條件得出=== ， 求得PD=4，通過證得△PDA∽△POD，得出= ， 設OA=x，則PA=x，PO=2x，得出= ， 解得OA=2．
此題考查了圓的綜合應用，涉及知識點有圓周角定理，切線的證明，相似三角形對應邊成比例等。