Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D，下列四個結論：

①EF=BE+CF；

②∠BOC=90°+∠A；

③點O到△ABC各邊的距離相等；

④設OD=m，AE+AF=n，則．

其中正確的結論是____．（填序號）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據角平分線的定義與三角形的內角和定理，即可求出②∠BOC=90°+∠A正確；由平行線的性質和角平分線的定義可得△BEO和△CFO是等腰三角形可得①EF=BE+CF正確；由角平分線的性質得出點O到△ABC各邊的距離相等，故③正確；由角平分線定理與三角形的面積求法，設OD=m，AE+AF=n,則△AEF的面積=，④錯誤.

在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°，故②∠BOC=90°+∠A正確；

在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠OCF，

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，

∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF，

∴BE=OE,CF=OF,

∴EF=OE+OF=BE+CF，

即①EF=BE+CF正確；

過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于點N，連接AO，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴ON=OD=OM=m，即③點O到△ABC各邊的距離相等正確；

∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF=AE·OM+AF·OD=OD·（AE+AF）=mn，故④錯誤；

故選①②③