Question

在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數的圖像經過原點及點A（1，2），與x軸相交于另一點B．

（1）求：二次函數的解析式及B點坐標；
（2）若將拋物線以為對稱軸向右翻折后，得到一個新的二次函數，已知二次函數與x軸交于兩點，其中右邊的交點為C點．點P在線段OC上，從O點出發向C點運動，過P點作x軸的垂線，交直線AO于D點，以PD為邊在PD的右側作正方形PDEF（當P點運動時，點D．點E、點F也隨之運動）；
①當點E在二次函數y₁的圖像上時，求OP的長.
②若點P從O點出發向C點做勻速運動，速度為每秒1個單位長度，同時線段OC上另一個點Q從C點出發向O點做勻速運動，速度為每秒2個單位長度（當Q點到達O點時停止運動，P點也同時停止運動）.過Q點作x軸的垂線，與直線AC交于G點，以QG為邊在QG的左側作正方形QGMN（當Q點運動時，點G、點M、點N也隨之運動），若P點運動t秒時，兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上的邊除外），求此刻t的值.

Answer 1

（1），B（3，0）；（2）①；②或或或2．

試題分析：（1）利用二次函數的圖象經過原點及點A（1，2），分別代入求出a，c的值即可；
（2）①過A點作AH⊥x軸于H點，根據DP∥AH，得出△OPD∽△OHA，進而求出OP的長；
②分別利用當點F、點N重合時，當點F、點Q重合時，當點P、點N重合時，當點P、點Q重合時，求出t的值即可．
試題解析：（1）∵二次函數的圖象經過原點及點A（1，2），∴將（0，0），代入得出：c=0，將（1，2）代入得出：a+3=2，解得：，故二次函數解析式為：，∵圖象與x軸相交于另一點B，∴，解得：x=0或3，則B（3，0）；
（2）①由已知可得C（6，0），如圖：過A點作AH⊥x軸于H點，∵DP∥AH，∴△OPD∽△OHA，∴，即，∴PD=2a，∵正方形PDEF，∴E（3a，2a），∵E（3a，2a）在二次函數y₁=﹣x²+3x的圖象上，∴a=；即OP=；
②如圖1：

當點F、點N重合時，有OF+CN=6，∵直線AO過點（1，2），故直線解析式為：y=2x，當OP=t，則AP=2t，∵直線AC過點（1，2），（6，0），代入y=ax+b，，，解得：，故直線AC的解析式為：，∵當OP=t，QC=2t，∴QO=6﹣2t，∴GQ=，即NQ=，∴OP+PN+NQ+QC=6，則有，解得：；
如圖2：

當點F、點Q重合時，有OF+CQ=6，則有，解得：；
如圖3：

當點P、點N重合時，有OP+CN=6，則有，解得：；
如圖4：

當點P、點Q重合時，有OP+CQ=6，則有，解得：．故此刻t的值為：，，，．