Question

【題目】如圖，已知數軸上點表示的數為9，是數軸上一點且.動點從點出發，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為 ()秒．

發現:

(1)寫出數軸上點表示的數 ，點表示的數 (用含的代數式表示)；

探究:

(2)動點從點出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動， 若點、同時出發，問為何值時點追上點？此時點表示的數是多少？

(3)若是線段靠近點的三等分點，是線段靠近點的三等分點.點在運動的過程中， 線段的長度是否發生變化？在備用圖中畫出圖形，并說明理由．

拓展:

(4)若點是數軸上點，點表示的數是，請直接寫:的最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）-6；9-5t；（2）點P運動5秒時，在點C處追上點Q，P點表示的數是-16；（3）線段MN的長度不發生變化，其值為1；畫出圖形，理由見解析；（4）15．

【解析】

(1）設出B點表示的數為x，由數軸上兩點間的距離即可得到x的方程，解方程即可得出x，由路程=速度×時間可得出點P走過的路程，再求得點表示的數；
(2）設經t秒后P點追上Q點，根據題意可得，關于t的一元一次方程，解方程即可得出時間t；
(3）由P點位置的不同分兩種情況考慮，依據三等分點的定義，可以找到線段間的關系，從而能找出MN的長度；

(4) 分及三種情況，解方程即可得出結論．

(1) 設B點表示，則有：
，解得：，

∵動點P從點A出發，以每秒5個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，
∴經t秒后點P走過的路程為，

∴點表示的數為：，

故答案為；

(2)設點P運動t秒時，在點C處追上點Q(如圖)

則AC=5t，BC=2t，

∵AC-BC=AB ，

∴5t-2t=15 ，

解得：t=5，

∴點P運動5秒時，在點C處追上點Q，

當時，，

此時P點表示的數是；

(3)沒有變化．

∵M是線段AP靠近點A的三等分點，N是線段BP靠近點B的三等分點，

∴，.

分兩種情況：

①當點P在點A、B兩點之間運動時(如備用圖)：

所以MN=MP+NP=AP+BP=(AP+BP)=AB=10

②當點P運動到點B的左側時(如備用圖)：

所以MN=MP-NP=AP-BP=(AP-BP)=AB=10

綜上所述，線段MN的長度不發生變化，其值為10.

(4) ①當時，，

∵

∴，不存在最小值；

②當時，，
③當時，，
∵

∴，不存在最小值；

綜上，當時，的最小值是．
故答案為：15．