Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E．
（1）求證：點E是邊BC的中點；
（2）若EC=3，BD=2

6

，求⊙O的直徑AC的長度；
（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接DO；
∵∠ACB=90°，AC為直徑，
∴EC為⊙O的切線；
又∵ED也為⊙O的切線，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即點E是邊BC的中點；

（2）∵BC，BA分別是⊙O的切線和割線，
∴BC²=BD•BA，
∴（2EC）²=BD•BA，即BA•2

6

=36，
∴BA=3

6

，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC=

AB2-BC2

=

(3 6 )2-62

=3

2

；

（3）△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵四邊形ODEC為正方形，
∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵點E是邊BC的中點，
∴BC=2OD=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．