Question

（2004•聊城模擬）如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現有兩點E、F，分別從點B、點A同時出發，點E沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動，點F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點C運動，設點E離開點B的時間為t（秒）．
（1）當t為何值時，線段EF與BC平行？
（2）設1＜t＜2，當t為何值時，EF與半圓相切？
（3）1≤t＜2時，設EF與AC相交于點P，問點E、F運動時，點P的位置是否發生變化？若發生變化，請說明理由；若不發生變化，請給予證明，并求AP：PC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如果EF∥BC，那么根據ABCD是正方形可知BEFC是矩形，則BE=CF，據此列出關于t的方程，求出方程的解即為本問答案．
（2）如果EF與半圓相切，由1＜t＜2，正方形ABCD中BC=2cm，以及點E沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動，點F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點C運動，可知此時E點在AB邊上，F點在CD邊上，那么根據切線長定理，得EF=BE+CF，則EF可用含t的代數式表示，過F點作KF∥BC交AB于K，得∠EKF=90°，KF=2，EK=BE-CF，EF也用含t的代數式表示，根據勾股定理得EF²=EK²+FK²列出關于關于t的方程，求出方程的解，再根據1＜t＜2來進行取舍．
（3）因為P在AC上，而AC是定長，如果AP：PC的值是一個常數，那么點P的位置就不發生變化，否則就發生變化．由1≤t＜2，同樣可知此時E點在AB邊上，F點在CD邊上，那么由AB∥DC得出△AEP∽△CFP，從而AP：PC=AE：CF，用含t的代數式分別表示AE，CF，得出AE：CF=1：2，則AP：PC=1：2．
解答：解：（1）設E、F出發后運動了t秒時，有EF∥BC（如圖1）則
BE=t，CF=4-2t，即有t=4-2t，t=；
∴當t為秒時，線段EF與BC平行．

（2）設E、F出發后運動了t秒時，EF與半圓相切（如圖2），過F點作KF∥BC交AB于K，
則BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，
EF=EB+FC=t+（4-2t）=4-t．
又∵EF²=EK²+FK²，
∴（4-t）²=（3t-4）²+2²．
即2t²-4 t+1=0，解得t=，
∵1＜t＜2，∴；
∴當t為秒時，EF與半圓相切，（8分）

（3）當1≤t＜2時，E、F出發后運動了t秒時，EF位置如圖3所示，則
BE=t，AE=2-t，CF=4-2t，
∴，
又∵AB∥DC，
∴△AEP∽△CFP．
∴；
即點P位置與t的取值無關．
∴當1≤t＜2時，點P的位置不會發生變化，且AP：PC的值為．（12分）
點評：本題主要考查了相似三角形的判定，切線的性質等．由于E，F是動點，根據已知條件確定他們的大致位置是本題的關鍵．