Question

先閱讀下面一段材料，再完成后面的問題：
材料：過拋物線y=ax²（a＞0）的對稱軸上一點(diǎn)（0，-

1

4a

）作對稱軸的垂線l，則拋物線上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F（0，

1

4a

）的距離與P到l的距離一定相等，我們將點(diǎn)F與直線l分別稱作這拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，如y=x²的焦點(diǎn)為（0，

1

4

）．
問題：若直線y=kx+b交拋物線y=

1

4

x²于A、B、AC、BD垂直于拋物線的準(zhǔn)線l，垂直足分別為C、D（如圖）．
①求拋物線y=

1

4

x²的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②求證：直線AB過焦點(diǎn)時(shí)，CF⊥DF；
③當(dāng)直線AB過點(diǎn)（-1，0），且以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切時(shí)，求這條直線對應(yīng)的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：①將a=

1

4

代入題中給出的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式中即可．
②根據(jù)焦點(diǎn)的概念可知：AC=AF，BF=BD，如果連接CF、DF，那么CF必平分角AFO（可用三角形全等證出）．同理可求得DF平分∠BFO，由此可得證．
③可連接圓心與切點(diǎn)，設(shè)圓心為M，切點(diǎn)為N，那么MN就是梯形ACDB的中位線，因此MN=

1

2

（AC+BD）=

1

2

AB，根據(jù)焦點(diǎn)的定義知：AF=AC，BF=BD，因此AF+BF=AB，也就是說直線AB恰好過焦點(diǎn)F，那么可根據(jù)F的坐標(biāo)（①已求得）和已知的點(diǎn)（-1，0）的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

解答：①解：F（0，1）

②證明：∵AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC
又∵AC∥OF，
∴∠ACF=∠CFO，
∴CF平分∠AFO，同理DF平分∠BFO；
而∠AFO+∠BFO=180°
∴∠CFO+∠DFO=

1

2

（∠AFO+∠BFO）=90°；
∴CF⊥DF．

③解：設(shè)圓心為M，且與l的切點(diǎn)為N，連接MN；
∴MN=

1

2

AB
在直角梯形ACDB中，M是AB的中點(diǎn)．
∴MN=

1

2

（AC+BD），而AC=AF，BD=BF．
∴MN=

1

2

（AF+BF）
∴AF+BF=AB
∴AB過焦點(diǎn)F（0，1）．
又AB過點(diǎn)（-1，0）
∴

b=1 -k+b=0

解得

k=1 b=1

∴AB對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x+1．

點(diǎn)評：本題為閱讀類題，解題的關(guān)鍵是弄清材料中各定義的含義，然后結(jié)合自己掌握的知識(shí)進(jìn)行求解．