Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC，下面的結論:①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等邊三角形；③AC=AO+AP；④．其中所有正確結論的序號為 ( )

A.①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

Answer 1

【答案】D．

【解析】

試題解析：連接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，

∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，

∵OP=OC，

∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；

故①正確；

∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，

∴∠APC+∠DCP=150°，

∵∠APO+∠DCO=30°，

∴∠OPC+∠OCP=120°，

∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，

∵OP=OC，

∴△OPC是等邊三角形；

故②正確；

在AC上截取AE=PA，

∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，

∴△APE是等邊三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，

∴∠APO+∠OPE=60°，

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，

∴∠APO=∠CPE，

∵OP=CP，

在△OPA和△CPE中，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO=CE，

∴AC=AE+CE=AO+AP；

故③正確；

過點C作CH⊥AB于H，

∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC，

∴CH=CD，

∴S△ABC=ABCH，

S四邊形AOCP=S△ACP+S△AOC=APCH+OACD=APCH+OACH=CH（AP+OA）=CH AC，

∴S△ABC=S四邊形AOCP；

故④正確．

故選D．