Question

【題目】如圖所示，已知中，，，，、是的邊上的兩個動點，其中點從點開始沿方向運動，且速度為每秒，點從點開始沿方向運動，且速度為每秒，它們同時出發，設出發的時間為．

（1）則____________；

（2）當為何值時，點在邊的垂直平分線上？此時_________?

（3）當點在邊上運動時，直接寫出使成為等腰三角形的運動時間．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）t=12.5s時，13 cm；（3）11s或12s或13.2s

【解析】

（1）由勾股定理即可得出結論；

（2）由線段垂直平分線的性質得到PC= PA=t，則PB=16-t．在Rt△BPC中，由勾股定理可求得t的值，判斷出此時，點Q在邊AC上，根據CQ=2t-BC計算即可；

（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到關于t的方程，可求得t的值．

（1）在Rt△ABC中，BC(cm)．

故答案為：12；

（2）如圖，點P在邊AC的垂直平分線上時，連接PC，

∴PC= PA=t，PB=16-t．

在Rt△BPC中，，即，

解得：t=．

∵Q從B到C所需的時間為12÷2=6(s)，＞6，

∴此時，點Q在邊AC上，CQ=(cm)；

（3）分三種情況討論：

①當CQ=BQ時，如圖1所示，

則∠C=∠CBQ．

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=10，

∴BC+CQ=22，

∴t=22÷2=11(s)．

②當CQ=BC時，如圖2所示，

則BC+CQ=24，

∴t=24÷2=12(s)．

③當BC=BQ時，如圖3所示，

過B點作BE⊥AC于點E，

則BE，

∴CE=7.2．

∵BC=BQ，BE⊥CQ，

∴CQ=2CE=14.4，

∴BC+CQ=26.4，

∴t=26.4÷2=13.2(s)．

綜上所述：當t為11s或12s或13.2s時，△BCQ為等腰三角形．