Question

如圖，半徑為2的⊙O，圓心在直角坐標系的原點處，直線l的函數關系式為：y=

3

x且與⊙O相交于點A．
（1）求點A的坐標；
（2）如果把直線l沿x軸的正方向平移，在平移的過程中，直線l能與⊙O相切嗎？若能，求出相切時直線l的函數關系式；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點A作AB⊥x軸，垂足為B，根據勾股定理即可求出點A的坐標；
（2）設平移后的直線l′與⊙O相切于點C，交x軸于點D，則OC⊥l′，先求出點D的坐標，然后設平移后的直線l′的函數關系式為y=

3

x+b，把（

4 3

3

，0）代入y=

3

x+b，即可求解．

解答：解：（1）過點A作AB⊥x軸，垂足為B，
則OB²+AB²=OA²，
設點A的坐標為（x，

3

x）
∵⊙O的半徑為2，
∴x2+(

3

x)2=22，
解得x=1，
∴點A的坐標（1，

3

）；

（2）直線l在平移的過程中，能與⊙O相切．
設平移后的直線l′與⊙O相切于點C，交x軸于點D，則OC⊥l′，
∵cos∠AOB=

OB

OA

=

1

2

，
∴∠AOB=60°，
又∵l∥l′，
∴∠ODC=∠AOB=60°，
∵sin∠ODC=

OC

OD

，OD=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴點D的坐標為（

4 3

3

，0）．
設平移后的直線l′的函數關系式為y=

3

x+b，
把（

4 3

3

，0）代入y=

3

x+b，得b=-4．
∴直線l通過平移能與⊙O相切，相切時函數關系式為y=

3

x-4．

點評：本題考查了一次函數的綜合題，難度較大，關鍵是掌握待定系數法求解函數的解析式．