Question

【題目】如圖1：已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在∠BAC內部作∠MAN=45°．AM、AN分別交BC于點M，N．
（1）將△ABM繞點A逆時針旋轉90°，使AB邊與AC邊重合，把旋轉后點M的對應點記作點Q，得到ACQ，請在圖1中畫出△ACQ；（不寫出畫法）

（2）在（1）中作圖的基礎上，連接NQ，
①求證“MN=NQ”；
②寫出線段BM，MN和NC之間滿足的數量關系，并簡要說明理由．
（3）線段GS，ST和TH之間滿足的數量關系是
（4）設DK=a，DE=b，求DP的值．（用a，b表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，△ACQ即為所求

（2）

解：①證明：由旋轉可得，△ABM≌△ACQ

∴AM=AQ，∠BAM=∠CAQ

∵∠MAN=45°，∠BAC=90°

∴∠BAM+∠NAC=45°

∴∠CAQ+∠NAC=45°，即∠NAQ=45°

在△MAN和△QAN中

∴△MAN≌△QAN（SAS）

∴MN=NQ

②MN2=BM2+NC2

由①中可知，MN=NQ，MB=CQ

又∠NCQ=∠NCA+ACQ=∠NCA+∠ABM=45°+45°=90°

在Rt△NCQ中，NQ2=CQ2+NC2，即MN2=BM2+NC2

（3）ST2=GS2+TH2
（4）

解：如圖，∵DE=DF，DG=DP，∠EDF=∠GDP=45°

∴∠DPK=∠DEP

又∵∠PDK=∠EDP

∴△DPK∽△DEP

∴ ，即DP2=DKDE

∵DK=a，DE=b

∴DP=

【解析】（1）根據旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度進行作圖即可；（2）先根據SAS判定△MAN≌△QAN，進而得出結論，再由全等三角形和旋轉，得出MN=NQ，MB=CQ，最后根據Rt△NCQ中的勾股定理得出結論；（3）運用②中的方法即可得出類似的加侖；（4）先判定△DPK∽△DEP，再根據相似三角形對應邊成比例，列出比例式進行求解．
【考點精析】通過靈活運用旋轉的性質，掌握①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．