Question

【題目】正方形中，為對角線上一點，且，交于，延長交于．

（1）求證：；

（2）已知如圖（2），為上一點，連接，并將逆時針旋轉至，連接，為的中點，連接，試求出．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）過點P作PF⊥CD于F點，過點P作PE⊥BC于E點，得到四邊形CFPE是正方形，證明△PME≌△PDF，得到ME=DF，再根據正方形的性質即可求解；

（2）過Q點作QM⊥CD，延長DH交QM于E點，過E點作FN⊥BC交BC于F點，交AD于N點，連接DG，根據題意證明四邊形ENDM是正方形，DE是對角線，過H點作HP⊥AD，根據中位線的性質得到AQ=2HP，根據等腰直角三角形的性質得到DH=HP，故可求出的值．

（1）過點P作PF⊥CD于F點，過點P作PE⊥BC于E點，

∵∠ECF=90°

∴四邊形CFPE是矩形

∵為對角線上一點，

∴CP平分∠ECF

∴EP=FP

∴矩形CFPE是正方形

∴

∵

∴∠MPF+∠FPD=90°

∵∠MPF+∠MPE=90°

∴∠EPM=∠FPD

又∵EP=FP，∠PEM=∠PFD=90°

∴△PME≌△PDF

∴ME=DF

∴==CE+CF

∵PC=

∴CE=

∴；

（2）過Q點作QM⊥CD，延長DH交QM于E點，過E點作FN⊥BC交BC于F點，交AD于N點，

∴四邊形EFBQ是矩形，四邊形ENDM是矩形，

連接DG，

∵逆時針旋轉至，

∴CQ=CG，CQ⊥CG

∴∠QCD+∠DCG=90°

∵∠QCD+∠BCQ=90°

∴∠BCQ=∠DCG

又∵BC=DC，CQ=CG

∴△BCQ≌△DCG，∠CDG =∠CBQ=90°

∴A,D,G在同一直線上，

∴DG=BQ,

∵MQ⊥CD,AG⊥CD

∴QM∥AG

∴∠EQH=∠DGH,

∵H是GQ的中點，

∴HQ=HG

又∵∠EHQ=∠DHG,

∴△EHQ≌△DHG，

∴EQ=DG

∴BQ=EQ

∴矩形EFBQ是正方形

∴EF=EQ

∴MQ-EQ=FN-EF

∴EM=EN

∴矩形ENDM是正方形，

∴DE是正方形ENDM的對角線，

過H點作HP⊥AG，

∵H點是HG的中點，∠QAG=90°

∴P點是AG中點，

∴AQ=2HP

∵△HDP是等腰直角三角形，HP=DP

∴DH=

∴=．